敷地と道路の間に水路があります。橋をかけるのに届出は必要ですか？

その水路がよく見られる道路側溝のようなもので、市道等の道路幅員の一部であれば、グレーチングでフタをすることは、特殊な場合を除いて問題にはなりません。
(ただし、側溝の縁をカッターで切り欠いたりするときは、道路維持課などの許可が必要です)

ところが、水路の幅が60㎝(2尺)を超えると、道路の一部ではなく、都道府県ではない別の管理者や所有者がいる可能性が出てきます。
まずは、役所や町内会長、地区の総代、土地改良区などに相談してみて、管理している個人・団体を確認します。そちらの指示・条件に従って、占有許可を受けたり、ふたや橋をかける工事を行います。
町内や集落ごとに構造等の決まりがある事が多いので、独断で工事をするのは避けましょう。やり直しの憂き目にあいます。

橋の間口幅やフタの範囲が「敷地が道路と接する長さ」になります。
ですので、橋やフタの間口幅は2ｍ以上確保してください。