敷地に接している道路が私道のようです。家は建てられますか？

基本的に建築物の敷地は、「建築基準法上の道路」(法42条)に2ｍ以上接していなければなりません。(法43条)

もしも、道路ではなく第三者の私有地だったとしても、その人の同意が得られなければ、「位置指定道路」(法42条1項5号)や「43条2項1号・2号許可（接道許可）」などの方法があります。

時間と労力がかかる手続きになりますが、建築士や司法書士に相談して、根気よく頑張りましょう。
古い街中や農村部では、長年、道路として使っていたのに、いざ家を建て替えようとしたら、私有地や国有地だった、という事例がまれにあります。

家を計画する際には前もって、道路が建築基準法上の道路なのかどうか、建築指導課等で確認しておくのが良いでしょう。後でわかると、建築計画自体が振出しに戻ることもあり得ます。